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By Prof. Dr. Otto Forster, Dr. Thomas Szymczak (auth.)

ISBN-10: 3834805130

ISBN-13: 9783834805133

ISBN-10: 3834895091

ISBN-13: 9783834895097

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V2 ∂v1 − ∂x1 ∂x2 50 L¨osungen Aufgabe 5 E. Es folgt unmittelbar aus An. 6) und der Bemerkung zur Definition der Divergenz eines Vektorfeldes: Δ( f g) = = = = = div∇( f g) div(g∇ f + f ∇g) div(g∇ f ) + div( f ∇g) ∇g, ∇ f + g · div(∇ f ) + ∇ f , ∇g + f · div(∇g) f Δg + 2 ∇ f , ∇g + gΔ f . Aufgabe 5 F. Unter Verwendung der Produkt– und Kettenregel schließt man folgendermaßen: ΔF(x,t) = = n ∂2 F ∑ ∂x2 (x,t) i=1 n i ∂ n ∑ ∂x2 i=1 t −n/2 exp − ∑ x2j · i j=1 1 4t =F(x,t) ∂ −xi = ∑ F(x,t) · ∂x 2t i i=1 n = = n ∑ F(x,t) i=1 n ∑ F(x,t) i=1 = F(x,t) ∂F ∂ (x,t) = ∂t ∂t 2 −xi 2t + F(x,t) · x2i 1 − 4t 2 2t 1 x 4t 2 2 − n 2t , n t −n/2 exp − ∑ x2j · j=1 1 4t =F(x,t) −n 1 F(x,t) + 2 x 2 F(x,t) 2t 4t 1 n x 2− = F(x,t) 4t 2 2t = ΔF(x,t), = −1 2t §5.

Differentialgleichungen 2. Ordnung 25 mit der Anfangsbedingung r(0) = r0 > 0, r˙(0) = v0 > 0. Dabei ist γ eine positive Konstante. Man zeige: Es gibt ein v∗ > 0, so dass f¨ur v0 ≥ v∗ die L¨osung r(t) f¨ur t → ∞ unbegrenzt w¨achst, w¨ahrend f¨ur v0 < v∗ ein t1 > 0 so existiert, dass die L¨osung r(t) im Intervall 0 ≤ t ≤ t1 monoton w¨achst und f¨ur t ≥ t1 monoton f¨allt. Bemerkung. Die Differentialgleichung beschreibt die radiale Bewegung eines K¨orpers unter dem Einfluss der Schwerkraft eines anderen.

Dies folgt aber unmittelbar daraus, dass f¨ur alle x ∈ X gilt B1/2 (x) = {x}. §2. Grenzwerte. Stetigkeit §2. 37 Grenzwerte. Stetigkeit Aufgabe 2 A. Nach An. 5, gilt f¨ur alle x ∈ X 1 ϕ(x) = ( f (x) + g(x) + | f (x) − g(x)|), 2 1 ψ(x) = ( f (x) + g(x) − | f (x) − g(x)|). 2 Daher folgt die Stetigkeit von ϕ und ψ unmittelbar aus der Stetigkeit der Betragsfunktion und den S¨atzen 5 und 7 aus An. 2, §2. Aufgabe 2 C. Sei ε > 0 beliebig und ( fi )i∈N sei eine Cauchy-Folge in C[a, b], dann gilt: ε ∃ N ∈ N ∀ k, m ≥ N gilt fk − fm < 2 ε =⇒ ∀ k, m ≥ N gilt sup{|( fk − fm )(x)| : x ∈ [a, b]} < 2 ε =⇒ ∀ k, m ≥ N ∀ x ∈ [a, b] gilt | fk (x) − fm (x)| < 2 =⇒ ∃ f ∈ C[a, b] ∀ k ≥ N ∀ x ∈ [a, b] gilt | fk (x) − f (x)| < ε, • Die Existenz einer Funktion f : [a, b] −→ R mit f (x) = lim fk (x) f¨ur alle x ∈ [a, b] folgt aus dem Vollst¨andigkeitsaxiom von R .

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Übungsbuch zur Analysis 2: Aufgaben und Lösungen by Prof. Dr. Otto Forster, Dr. Thomas Szymczak (auth.)


by William
4.2

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