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By Klaus Fritzsche

ISBN-10: 3642374948

ISBN-13: 9783642374944

ISBN-10: 3642374956

ISBN-13: 9783642374951

Am Anfang des zweiten Teils des Grundkurses research steht die Differenzialrechnung von mehreren Veränderlichen. Es werden alle klassischen Themen behandelt, einschließlich des Satzes über implizite Funktionen und der Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen. Auch bei schwierigeren oder längeren Beweisen wird großer Wert auf eine klare und verständliche Darstellung gelegt.

Das Buch wendet sich an Studierende in Mathematik und Physik, aber auch an Ingenieure mit großem Bedarf an Mathematik. Durch die zahlreichen Illustrationen, Beispiele und Aufgaben ist es excellent geeignet zum Selbststudium, als Begleitlektüre und ganz besonders auch zur Prüfungsvorbereitung.

Die zweite Auflage ist inhaltlich und didaktisch überarbeitet und um ein eigenständiges Kapitel zu Differenzialgleichungen ergänzt.

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Dabei konvergiert rν = xν gegen Null, und unabh¨angig von ϕν ist (cos ϕν )2 + (sin ϕν )2 = 1 und 0 ≤ |cos ϕν |, |sin ϕν | ≤ 1. Also konvergiert |f (xν )| = | rν3 cos ϕν (sin ϕν )2 | ≤ rν gegen Null. rν2 Weiter ist f (x, 0) ≡ 0 und f (0, y) ≡ 0. Also ist f im Nullpunkt auch partiell differenzierbar, und es gilt: 1 Differentialrechnung in mehreren Variablen 46 ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 0. ∂x ∂y Es existieren sogar beliebige Richtungsableitungen: Da f (tx, ty) = t · f (x, y) f¨ ur alle t und beliebiges (x, y) gilt (man nennt eine solche Funktion homogen vom Grad 1), ist Dh f (0) = lim t→0 f (th) − f (0) = f (h).

Definition (Zweite partielle Ableitung) Sei B ⊂ R offen und f : B → R u ¨berall partiell differenzierbar. Sind alle partiellen Ableitungen Dj f in einem Punkt a ∈ B wiederum partiell differenzierbar, so definiert man f¨ ur i, j = 1, . . , n : n ∂ 2f (a) := Di (Dj f )(a). ∂xi ∂xj Man nennt diesen Ausdruck die 2-te partielle Ableitung von f nach xi und xj an der Stelle a und schreibt daf¨ ur auch fxi xj (a). 9. h. es ist fxi xj = (fxj )xi . B. f (x1 , x2 ) := ekx1 · cos x2 . Dann gilt: ∂f (x) = k · ekx1 · cos x2 ∂x1 sowie und ∂f (x) = −ekx1 · sin x2 , ∂x2 ∂ 2f ∂ 2f (a) = (a) = −keka1 sin a2 .

Ist f in t0 differenzierbar, so existiert der Grenzwert f (t0 ) := lim t→t0 Setzen wir δ(t) := f (t) − f (t0 ) . t − t0 f (t) − f (t0 ) − f (t0 ), so gilt: t − t0 ur t ∈ I. 1. f (t) = f (t0 ) + f (t0 ) · (t − t0 ) + δ(t) · (t − t0 ) f¨ Hier ist L(t) := f (t0 ) + f (t0 ) · (t − t0 ) eine affin-lineare Funktion mit L(t0 ) = f (t0 ), und der Ausdruck δ(t) · (t − t0 ) ist der Fehler“, den man macht, wenn ” man f durch L approximiert. 2. lim δ(t) = 0. Was bedeutet das? t→t0 Ist Lm (t) := f (t0 ) + m(t − t0 ) eine beliebige affin-lineare Funktion mit Lm (t0 ) = f (t0 ), so k¨onnen wir δm (t) := f (t) − Lm (t) f (t) − f (t0 ) = −m t − t0 t − t0 1 Differentialrechnung in mehreren Variablen 40 setzen und erhalten die Gleichung f (t) = Lm (t)+δm (t)·(t−t0 ).

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by Daniel
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