Einfuhrung in die Komplexe Analysis: Elemente der - download pdf or read online

By Wolfgang Fischer

ISBN-10: 3834806633

ISBN-13: 9783834806635

Dieses Buch eignet sich als Grundlage für einen Fortsetzungskurs in research im 2. Studienjahr. In der Komplexen research (Funktionentheorie) wird die Differential- und Integralrechnung im Bereich der komplexen Zahlen entwickelt, dies ist ein klassisches Teilgebiet der Mathematik mit vielfältigen Anwendungen, zum Beispiel in der Physik.

Mit einer guten thematischen Auswahl, vielen Beispielen und ausführlichen Erläuterungen gibt dieses Buch eine Darstellung der Komplexen research (Funktionentheorie) , die genau die Grundlagen und den wesentlichen Kernbestand dieses Gebietes enthält: Diese Lehreinheiten können im Bachelor-Studium in einer einsemestrigen 2-stündigen Vorlesung behandelt werden.

Das Buch bietet über diese Grundausbildung hinaus weiteres Lehrmaterial als Ergänzung, sodass es auch für eine three- oder 4-stündige Vorlesung geeignet ist. Je nach Hörerkreis kann der Stoff unterschiedlich erweitert werden. So wurden für den „Bachelor Lehramt“ die geometrischen Aspekte der Komplexen research besonders herausgearbeitet.

Die zahlreichen Aufgaben sind zum Teil mit Lösungen versehen und erleichtern das Lernen. Die ersten drei Abschnitte des Buches geben einen elementaren Einstieg in die research in der komplexen Ebene, sodass das Buch auch zum Selbststudium intestine geeignet ist.

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Zn ) bei festen z3 , . . , zn über γ2 , und fährt so fort. 7 folgt, dass es auf die Reihenfolge der Integrationen bei diesem Verfahren nicht ankommt. Für den mit Differentialformen vertrauten Leser: durch (8) wird das Integral der komplexen (n, 0)-Form f (z1 , . . , zn ) dz1 ∧ . . ∧ dzn über die n-dimensionale Integrationsfläche Γ ⊂ Cn = R2n gegeben: Γ f (z) dz1 ∧ . . ∧ dzn . Es lassen sich viel allgemeinere Flächen als Γ für die Integration verwenden, doch wird das erst im – hier nicht beabsichtigten – Ausbau der Theorie mehrerer komplexer Variablen benötigt.

4. 5. 5. Eine auf C reellwertige holomorphe Funktion ist konstant. Beweis? 5. Reelle und komplexe Differenzierbarkeit 19 5. Reelle und komplexe Differenzierbarkeit Da komplexwertige Funktionen einer komplexen Veränderlichen nichts weiter sind als Abbildungen (von Teilmengen) des R2 in den R2 , ist der Begriff der (reellen) Differenzierbarkeit auf sie anwendbar. Wir formulieren ihn in der für jetzt passenden Weise. Eine Funktion f = g + ih : U → C, U ⊂ C offen, (1) ist in z0 = x0 + iy0 ∈ U reell differenzierbar, wenn es in z0 stetige Funktionen Δ1 , Δ2 : U → C so gibt, dass für alle z = x + iy ∈ U f (z) = f (z0 ) + (x − x0 )Δ1 (z) + (y − y0 )Δ2 (z) (2) gilt.

Gilt umgekehrt fz (z0 ) = 0, so können wir (2 ) folgendermaßen schreiben (für z = z0 ): f (z) = f (z0 ) + (z − z0 ) Δ(z) + z − z0 E(z) . z − z0 Die Funktion Δ(z) + z − z0 E(z) z − z0 ist wegen E(z0 ) = fz (z0 ) = 0 und z − z0 =1 z − z0 stetig durch Δ(z0 ) nach z0 fortsetzbar. Damit ist f in z0 komplex differenzierbar. 5. 2. Der Differentialoperator ∂ 1 = ∂z 2 ∂ ∂ +i ∂x ∂y heißt Operator der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. In der Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit ist also die gleichzeitige Forderung nach dem Bestehen einer zusätzlichen partiellen Differentialgleichung enthalten: holomorphe Funktionen sind die differenzierbaren Lösungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ∂f (z) ≡ 0.

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