EinfГјhrung in die Mengenlehre: Die Mengenlehre Georg by Oliver Deiser PDF

By Oliver Deiser

ISBN-10: 3540204016

ISBN-13: 9783540204015

ISBN-10: 3540351167

ISBN-13: 9783540351160

Das Buch behandelt die Basis-Resultate der Mengenlehre aus der Zeit Cantors und Zermelos, used to be etwa den Zeitraum von 1870 - 1930 abdeckt. Die Ideen dieser Zeit bilden das Herz der Disziplin und haben das heutige Bild der Mathematik entscheidend mit geprägt. Ziel ist, die zentralen Konzepte und Probleme der Mengenlehre - Mächtigkeiten, Kardinalzahlen, Kontinuumsproblem, Wohlordnungen, transfinite Zahlen und transfinite Rekursion, mengentheoretische Untersuchungen von R - in ihrem Wesen begreifbar zu machen. Eine Axiomatik wird in Übereinstimmung mit der historischen Entwicklung erst dann eingeführt, wenn die Theorie bereits weit gediehen ist und nach einem stabilen Fundament verlangt. Schließlich wird die Axiomatik in einen formalen Rahmen eingebettet, used to be Resultate über die Grenzen des Gebäudes ermöglicht (wie z.B. die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese). Das Buch wendet sich an Studenten (Lehramt und Diplom) und Dozenten der Mathematik. Jetzt in verbesserter und erweiterter Auflage.

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M = { ‡ } = { { } } hat ein Element, nämlich die leere Menge. M = { ‡, { ‡ } } hat zwei Elemente: ‡ und { ‡ } sind verschieden, wie man mit dem Extensionalitätsprinzip sofort sieht. Hausdorff (1914): „Außer den Mengen, die Elemente haben, lassen wir auch eine Menge 0, die Nullmenge, zu, die kein Element hat ; die Gleichung A = 0 bedeutet also, daß auch die Menge A kein Element hat, verschwindet, leer ist. Auch hierzu ist die analoge Bemerkung zu machen wie im allgemeinen Fall: die Gleichung A = 0 kann eine bedeutungsvolle Aussage sein, wenn nämlich die Definition der Menge A ihr Verschwinden nicht unmittelbar erkennen läßt.

Iii) R heißt transitiv, falls für alle x, y, z  A gilt: x R y und y R z folgt x R z. Das Trio „reflexiv, symmetrisch, transitiv“ taucht häufiger auf: Definition (Äquivalenzrelation) Sei R eine Relation auf A . R heißt eine Äquivalenzrelation auf A, falls R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Für jedes x  A ist dann die Äquivalenzklasse von x bzgl. der Äquivalenzrelation R, in Zeichen x / R [ x modulo R ] definiert durch: x/R = { y  A | x R y }. Weiter ist A / R [ A modulo R ] definiert durch A / R = { x /R | x  A } .

Iii) Es gilt ഫ A/ϳ = A . Die Äquivalenzklassen bilden also eine Zerlegung von A . Umgekehrt entstehen alle Äquivalenzrelationen aus Zerlegungen von A: Übung Sei A eine Menge. Weiter sei ᏼ Ž P(A) eine Zerlegung von A, d. h. es gelte: (i) ‡  ᏼ, (ii) ഫ ᏼ = A, (iii) P ˆ Q = ‡ für alle P, Q  ᏼ mit P z Q. Für a, b  A sei a ϳ b falls ein P  ᏼ existiert mit a, b  P. Dann gilt: ϳ ist eine Äquivalenzrelation auf A, und es gilt A/ϳ = ᏼ. 54 1. Abschnitt Einführung Fassen wir eine Menge A als „Welt“ auf, so ist also eine Äquivalenzrelation auf A nichts anderes als eine Aufteilung der Menge A in bestimmte „Regionen“ oder „Länder“.

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by Edward
4.3

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