Download e-book for kindle: Eindimensionale Finite Elemente: Ein Einstieg in die Methode by Markus Merkel, Andreas Öchsner

By Markus Merkel, Andreas Öchsner

ISBN-10: 3642544819

ISBN-13: 9783642544811

ISBN-10: 3642544827

ISBN-13: 9783642544828

Die Finite-Elemente-Methode wird in dieser Einführung in ihrer Komplexität auf eindimensionale Elemente heruntergebrochen. Somit bleibt die mathematische Beschreibung weitgehend einfach und überschaubar.

Das Augenmerk liegt in jedem Kapitel auf der Erläuterung der Methode und deren Verständnis. Der Leser lernt, die Annahmen und Ableitungen bei verschiedenen physikalischen Problemstellungen in der Strukturmechanik zu verstehen und Möglichkeiten und Grenzen der Methode der Finiten Elemente kritisch zu beurteilen.

Diese Herangehensweise ermöglicht das methodische Verständnis wichtiger Themenbereiche, wie z.B. Plastizität oder Verbundwerkstoffe und gewährleistet einen einfachen Einstieg in weiterführende Anwendungsgebiete. Ausführliche durchgerechnete und kommentierte Beispiele und weiterführende Aufgaben mit Kurzlösung im Anhang unterstützen den Lernerfolg.

In der zweiten Auflage dieses Lehrbuches wurden alle graphischen Darstellungen überarbeitet, die Wärmeleitung bei den Stabelementen ergänzt und Spezialelemente als neues Kapitel aufgenommen. Auch wurde das Prinzip der virtuellen Arbeiten zur Ableitung der Finite-Elemente-Hauptgleichung eingeführt.

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Somit ergibt sich für diese Methode die Gewichtsfunktion zu: n W (x) = βk ϕk (x). 55) k=1 Da für u(x) und W (x) die gleichen Ansatzfunktionen ϕk (x) gewählt wurden und die Koeffizienten βk beliebig sind, kann man die Funktion W (x) als Variation von u(x) schreiben (mit δα0 = 0): n W (x) = δu(x) = δα1 ϕ1 (x) + · · · + δαn ϕn (x) = δαk · ϕk (x). 56) k=1 Die Variationen können virtuelle Größen, wie zum Beispiel virtuelle Verschiebungen oder Geschwindigkeiten, sein. Einsetzen dieses Ansatzes in das innere Produkt nach Gl.

9 Prinzip der virtuellen Arbeit an einem Element Dazu fasst man die Knotenkräfte zu einem Vektor Fep zusammen. Die virtuellen Verschiebungen δup verrichten mit den Knotenkräften die äußere virtuelle Arbeit δΠext , die virtuellen Verzerrungen δε verrichten mit den Spannungen σ e im Innern die innere Arbeit δΠint : δΠext = Fep δΠint = T δup , (σ e )T δε e dΩ. 18) Ω 2 Im eindimensionalen Fall vereinfacht sich der Differenzialoperator zur Ableitung d . 1 Aus der ingenieurmäßigen Anschauung motivierte Verfahren 15 Nach dem Gesetz der virtuellen Arbeit gilt: δΠext = δΠint .

66) k=1 wobei n die Anzahl der Knoten pro Element darstellt. Wichtig ist, dass bei dieser Vorgehensweise der Fehler an den Knoten, deren Lage vom Anwender definiert werden, minimiert wird. Dies ist ein deutlicher Unterschied zum klassischen Galerkin-Verfahren auf Basis des inneren Produktes, das ja gerade die Punkte mit r = 0 selbst gefunden hat. 66) in Matrixform geschrieben und in die schwache Form eingesetzt. Für die weiteren Details der Ableitung sei hier auf die Ausführungen in Kap. 3 und 5 verwiesen.

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by John
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