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By Matthias Moßburger

ISBN-10: 3834818941

ISBN-13: 9783834818942

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Es sei ([ ln , rn ])n∈N eine (duale) Intervallschachtelung. Dann gibt es a, b ∈ R mit (ln )n∈N → a und (rn )n∈N → b . Beweis. Die Folge (ln )n ist monoton steigend, denn f¨ ur alle n ∈ N ist ln+1 = ln oder ln+1 = mn ≥ ln , also stets ln ≤ ln+1 . Analog: (rn )n ist monoton fallend. r1 ist eine obere Schranke f¨ ur (ln )n , denn f¨ ur alle n ∈ N ist ln ≤ rn und rn ≤ r1 (da (rn )n monoton fallend), also ln ≤ r1 . Analog: l1 ist eine untere Schranke f¨ ur (rn )n . Damit folgt die Behauptung nach dem Vollst¨ andigkeitsaxiom.

17. Man k¨onnte auf den Gedanken kommen, Nullfolgen (xn )n so zu definieren: ∀ ∈ R+ ∃ N ∈ R ∀ n > N : |xn | < . 1. Damit w¨ urde sofort n1 n → 0 folgen, und zwar sogar dann, wenn weder das Vollst¨andigkeitsaxiom noch das Archimediur sche Axiom gelten w¨ urden: Zu jedem ∈ R+ w¨are N := 1 geeignet, denn f¨ 1 alle n ∈ N mit n > ist n1 < . 3? 30 Kapitel 1. 4 S¨ atze u ¨ ber Folgen In diesem Abschnitt geht es um S¨ atze zur Berechnung von Grenzwerten. 3: Dort sind wir von einigen wenigen grundlegenden Regeln zum Rechnen und Anordnen von reellen Zahlen ausgegangen, um weitere Eigenschaften zu gewinnen; jetzt werden wir zun¨achst u ¨ber einige grundlegende Regeln zum Rechnen und Anordnen von Folgen nachdenken, um anschließend weitere Eigenschaften von Folgen zu gewinnen.

Formulieren und u ufen Sie Anordnungsaxio¨berpr¨ ” me f¨ ur RN (analog zu R). sch 4. 2 sei (xn )n < (yn )n . Folgt dann a < b ? 5. 6. 6. 7. 5 − n2 n2 − 50 n8 + 6n3 (c) xn := 10 n −n n5 − 5n2 (e) xn := cos(n) · 7 n −1 3n2 + n 2n2 − 9 n12 − 5n6 (d) xn := 15 n + 2n13 n21 + (−1)n · n17 (f) xn := n25 + 9n20 (a) xn := (b) xn := 7. Zeigen Sie f¨ ur alle n ∈ N mit vollst¨ andiger Induktion: n n (2i − 1) = n2 (a) i=1 n (c) i=1 n (4i − 1) = 2n2 + n i=1 |xi | i=1 3i−1 = (d) i=1 n xi ≤ (b) 3n −1 2 (e) Es sei xk+1 = axk f¨ ur alle k ∈ N .

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by John
4.3

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